[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.a zatemwzd³u¿ dowolnej linii l le¿¹cej na tej powierzchni.Po up³ywie pewnego czasuten sam zbiór elementów p³ynu utworzy inn¹ powierzchniê i inn¹ liniê , ale namocy (4.14) bêdzieWnioskujemy st¹d, ¿e powierzchnia jest równie¿ powierzchni¹ wirow¹.Jeœliw pewnej chwili czasu cz¹stki p³ynu tworz¹ powierzchniê wirow¹, to te samecz¹stki p³ynu tworz¹ powierzchniê wirow¹ we wszystkich chwilach czasu t.Tosamo stwierdzenie odnosi siê do rurki wirowej, jako szczególnego przypadkupowierzchni wirowej i linii wirowej, traktowanej jako granicy rurki wirowej.Drugie twierdzenie Helmholtza (rozdzia³ 3.6) dotyczy³o sta³oœci strumieniarotacji prêdkoœci przez dowolny przekrój poprzeczny rurki wirowej.Strumieñten, zwany tak¿e natê¿eniem wirowoœci w rurce wirowej , nie zmienia siê równie¿z up³ywem czasu.Na mocy wzoru (4.14), dla wszystkich linii le¿¹cych napowierzchni rurki i obejmuj¹cych tê rurkê cyrkulacja bêdzie sta³a; ztwierdzenia Stokesa (rozdz.12.2) wynika natychmiast niezmiennoœæ w czasiestrumienia rotacji przez dowolne powierzchnie rozpiête na tych liniach.ÆWICZENIAPrzyk³ad 4.1.Udowodniæ zale¿noœæ pomiêdzy pochodn¹ konwekcyjn¹ wektoraprêdkoœci, a rotacj¹ prêdkoœciwystêpuj¹c¹ we wzorze (4.4) i w równaniu (4.5).Przekszta³cenia (4.4) ¸ (4.5) wynikaj¹ z to¿samoœci (12.9)oraz z to¿samoœci uzyskanej po przestawieniu w niej wektorów iWykorzystuj¹c odpowiednio obydwa zwi¹zkipo podstawieniu i pamiêtaj¹c o regule ró¿niczkowania iloczynu otrzymujemyDla uzyskujemy wzór, który nale¿a³o udowodniæ.Przyk³ad 4.2.Dysza o osi poziomej i d³ugoœci l ma profil zaprojektowany w tensposób, ¿e prêdkoœæ wody wzrasta liniowo od wartoœci na wlocie do wartoœci nawylocie.Obliczyæ gradienty ciœnienia w przekroju wlotowym i wylotowymprzyjmuj¹c, ¿e na wylocie z dyszy panuje ciœnienie atmosferyczne.Zak³adaj¹c, ¿e oœ x pokrywa siê z osi¹ dyszy mamy:Równanie Eulera (4.3) upraszcza siê w tym przypadku do postaciobliczamy wiêc:Przyk³ad 4.3.Rozwi¹zaæ zadanie z przyk³adu 2.5 przy wykorzystaniu uk³adurównañ Eulera (4.1).Pole prêdkoœci wyznaczamy ze wzoru dla wektora wirowoœci o sk³adowych orazJest ono zatem okreœlone nastêpuj¹cymi zale¿noœciami:Ruch cieczy w naczyniu odbywa siê w ziemskim polu grawitacyjnym:Po wstawieniu tych zwi¹zków do równañ Eulera:otrzymujemy uk³ad trzech równañ:które mo¿na zast¹piæ jednym równaniem, po pomno¿eniu ich, odpowiednio, przez idodaniu stronamiRozwi¹zanie tego równania ró¿niczkowego wyznacza rozk³ad ciœnienia w cieczyoraz kszta³t powierzchni swobodnejPrzyk³ad 4.4.Zbiornik cylindryczny, zawieraj¹cy ciecz, zaczyna siê obracaæwokó³ osi pionowej.ZnaleŸæ ciœnienie w dowolnym punkcie cieczy, je¿eli naciecz dzia³a si³a pola o sk³adowych:a oœ O z pokrywa siê z osi¹ obrotu i jest skierowana do góry.Sk³adowe prêdkoœci s¹ równe:,gdzie w jest tylko funkcj¹ t.Równania Eulera maj¹ postaæ:,.Ró¿niczkuj¹c pierwsze z tych równañ wzglêdem y, drugie wzglêdem x i odejmuj¹cje od siebie otrzymamyWynika st¹d, ¿e ciecz obraca siê jako cia³o sztywne ze sta³ym przyspieszeniemk¹towym wokó³ osi z.Podstawiaj¹c wartoœæ do równania Eulera i wykonuj¹cca³kowanie otrzymamy zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ rozk³ad ciœnienia w postaci.Przyk³ad 4.5.Gaz o sta³ej temperaturze porusza siê w prostoliniowej pionowejrurce o sta³ym przekroju.Pomijaj¹c si³ê ciê¿koœci oraz przyjmuj¹c, ¿e prêdkoœæV jest sta³a w przekroju rurki, napisaæ równanie ró¿niczkowe dla wyznaczeniaV.Po przyjêciu kierunku osi O x w dó³ rurki i ustaleniu pocz¹tku uk³aduwspó³rzêdnych równanie Eulera przybiera postaæ.Równanie ci¹g³oœci wyra¿one jest w formiea równanie stanu gazu jest prawem Boyle’a-Mariotte’a:Zadanie sprowadza siê do napisania równania zawieraj¹cego tylko prêdkoœæ;ró¿niczkuj¹c zatem równanie Eulera wzglêdem czasu mamylub.Wprowadzaj¹c wartoœæ z równania ci¹g³oœci i wykonuj¹c ró¿niczkowanie prawejczêœci tego równania, otrzymamy.Na mocy równania stanu gazu i równania Eulera jest.Podstawiaj¹c to wyra¿enie do poprzedniej zale¿noœci, po prostychprzekszta³ceniach, dostajemy poszukiwane równanie.Przyk³ad 4.6.Wyprowadziæ równanie Bernoulliego w postaci ró¿niczkowej.Zapisuj¹c równania Eulera (4.1) w postaci:po pomno¿eniu ich, odpowiednio, przez oraz dodaniu stronami otrzymamyPoniewa¿oraz,wiêcZamieniaj¹c:oraz pamiêtaj¹c, ¿emo¿na napisaæDla pola si³ ciê¿koœci: , zatem(4.15)Przyk³ad 4.7.Wyprowadziæ równanie Bernoulliego rozwa¿aj¹c element p³ynuw kszta³cie walca.Rys.4.2Rozwa¿my element cieczy w kszta³cie walca o podstawie i d³ugoœci Niech oœ tegoelementu tworzy k¹t a z poziomem.Na elementarny walec dzia³aj¹ si³y masowe:si³a bezw³adnoœci, si³a ciê¿koœci oraz si³y powierzchniowe.Z zasadyd’Alemberta wynika, ¿e w ruchu ustalonym suma si³ czynnych i si³ bezw³adnoœcimusi byæ równa zeru.Obieramy oœ walca (rys.4.2) za oœ rzutów, si³y dzia³aj¹cena pobocznicê walca nie wchodz¹ do równañ ruchu.Mamy wiêcpo uproszczeniuUwzglêdniaj¹c zale¿noœæ otrzymamyWiadomo, ¿e oraz zatemst¹dlub po podzieleniu przez rJest to równanie Bernoulliego w postaci ró¿niczkowej (4.15).Przyk³ad 4.8.Wykazaæ, ¿e je¿eli si³y dzia³aj¹ce na ciecz maj¹ potencja³ U,a gêstoœæ jest funkcj¹ ciœnienia orazto linie wirowe pokrywaj¹ siê z torami elementów cieczy.Równanie ruchu cieczy idealnejmo¿na, przy wykorzystaniu danych z treœci zadania, zapisaæ w postaciStosuj¹c do tego równania operacjê rotacji i pamiêtaj¹c, ¿eotrzymamylub te¿Równanie to wyra¿a warunek zachowania elementu linii wirowej w czasie iprzestrzeni dlaktóry mo¿na zapisaæ w postacina mocy kolinearnoœci wektora i elementu linii wirowejgdzie jest funkcj¹ skalarn¹.Elementy p³ynu tworz¹ce liniê wirow¹ w danej chwili bêd¹ wiêc tworzy³y j¹w ka¿dej nastêpnej chwili, mimo ci¹g³ego przemieszczania siê w cieczy.Znajdziemy jeszcze warunki, przy spe³nieniu których wektor wiru prêdkoœci wewszystkich punktach i w dowolnej chwili czasu ma ten sam kierunek, co wektorprêdkoœci.Poniewa¿ linie wirowe posiadaj¹ w³aœciwoœci zachowania niezmiennoœci, zatemlinie pr¹du powinny byæ niezmiennymi w przestrzeni.Je¿eli tylko natê¿enierurek wirowych nie zmienia siê w czasie, to równie¿ nie zmieniaj¹ siê liniewirowe; w pocz¹tku ruchu linie wirowe powinny pokrywaæ siê z liniami pr¹du.Oznaczaj¹c przez pocz¹tkowy wektor prêdkoœci, dla wektora prêdkoœci i wektorawiru:,a poniewa¿tolubZ lewej strony ostatniej równoœci wystêpuje wektor prostopad³y do , z prawej -wektor równoleg³y do , to znaczy, ¿e oba te wektory s¹ równe zeru, st¹dA wiêc, albo jest równy zeru i ruch jest bezwirowy, albo - ruch jest ustalony,przy czym powinno byæ [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]