[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.2.000000E+00wiersz nr 33.000000E+00Macierz odwrotna:wiersz nr 11.818182E-01 4.545455E-01 -9.090909E-02wiersz nr 29.090909E-02 -2.727273E-01 4.545455E-01wiersz nr 34.545455E-01 -3.636364E-01 2.727273E-012.5.Uk³ady równañ z macierzami pasmowymiPrzy rozwi¹zywaniu ró¿nych zagadnieñ wystêpuj¹ czêsto uk³ady równañ liniowych zmacierzami pasmowymi - posiadaj¹cymi tê w³asnoœæ, ¿e wszystkie ich elementy s¹zerami z wyj¹tkiem elementów po³o¿onych na przek¹tnej g³Ã³wnej i kilkuprzek¹tnych pobocznych.Uk³ady takie mo¿na rozwi¹zywaæ bardzo skutecznymii ekonomicznymi metodami, bêd¹cymi szczególnymi przypadkami ogólnej metodyeliminacji Gaussa lub ogólnej metody Banachiewicza.Jeœli macierz A uk³adu równañ jest trójdiagonalna(2.76)to uk³ad równañ:(2.77)(2.77cd.)mo¿na rozwi¹zaæ nadzwyczaj szybko, wykonuj¹c ma³¹ liczbê dzia³añarytmetycznych.Wykorzystuj¹c zasadê eliminacji zmiennych wyznaczamyniewiadom¹z pierwszego równania, z równania drugiego wyznaczamy niewiadom¹ któr¹podstawiamy do równania trzeciego itd.Rezultatem takiego postêpowania jestalgorytm, zwany metod¹ faktoryzacji (przeganiania, ros.pieriegonka) [10],polegaj¹cy na obliczeniu najpierw wielkoœci pomocniczych:(2.78)gdziea nastêpnie niewiadomych:(2.79)Metoda faktoryzacji jest niezawodna, jeœli macierz A jest diagonalniedominuj¹ca tzn.gdy,.Równie skuteczn¹ metod¹ rozwi¹zywania uk³adów równañ z trójdiagonalnymimacierzami wspó³czynników jest metoda, zwana algorytmem Thomasa [11], opar-tana rozk³adzie macierzy (2.76) na iloczyn Po wyznaczeniu elementów macierzy L iU ze wzorów (2.62) i (2.63):(2.80)gdzie:(2.81)i obliczeniu wielkoœci pomocniczych (2.67):(2.82)ze wzorów (2.68) dostajemy:(2.83)Uk³ady równañ z trójpasmowymi macierzami wspó³czynników i niezerowymielementami naro¿nymi(2.84)wystêpuj¹ przy rozwi¹zywaniu zagadnieñ okresowych.Rozk³adaj¹c macierz A na podmacierze(2.85)uk³ad (2.84) zastêpujemy dwoma uk³adami równowa¿nymi:(2.86)gdzie:Podstawiaj¹c(2.87)do pierwszego uk³adu (2.86) uzyskujemy uk³ady równañ z trójdiagonalnymimacierzami wspó³czynników dla wektorów i(2.88)Po ich rozwi¹zaniu niewiadom¹ obliczamy z drugiego równania (2.86)(2.89)Inny algorytm rozwi¹zywania uk³adu (2.84) otrzymamy wykonuj¹c obliczeniaw nastêpuj¹cy sposób:1. Eliminacja zmiennych, w wyniku której zredukowany uk³ad równañ przybierapostaæ(2.90)o wspó³czynnikach obliczanych za pomoc¹ wzorów rekurencyjnych:(2.91)gdzie2.Wyznaczanie elementów dwóch ci¹gów:(2.92)wynikaj¹cych z podstawienia zale¿noœci(2.93)do wzoru (2.90).3.Obliczanie niewiadomej z ostatniego równania uk³adu (2.84)(2.94)i pozosta³ych niewiadomych ze wzoru (2.93).Przedstawione algorytmy mog¹ byæ uogólnione dla uk³adów równañ o wiêkszejliczbie rozmiaru pasma zawieraj¹cego niezerowe elementy macierzy wspó³czynnikóworaz dla uk³adów równañ z macierzami blokowymi.Dla uk³adu równañ z piêciodiagonaln¹ macierz¹ wspó³czynników(2.95)stosuj¹c metodê faktoryzacji dla k = 1, 2,., n - najpierw obliczamywielkoœci:(2.96)gdziea potem niewiadome z zale¿noœci:(2.97)W przypadku uk³adu równañ z siedmiodiagonaln¹ macierz¹ wspó³czynników(2.98)gdzie:w pierwszym etapie obliczeñ trzeba wyznaczyæ elementy czterech ci¹gów:(2.99)gdzie:przyjmuj¹c, ¿e pocz¹tkowe ich wartoœci s¹ równe zeruW drugim etapie obliczeñ wyznaczamy niewiadome ze wzorów:(2.100)(2.100cd.)W uk³adach równañ z macierzami blokowymi elementy macierzy wspó³czynników s¹macierzami kwadratowymi, a niewiadome i elementy prawych stron s¹ wektoramikolumnowymi.Stosuj¹c do uk³adu równañ o trójdiagonalnej macierzy blokowej(2.101)ogóln¹ zasadê eliminowania niewiadomych z uk³adu równañ o trójpasmowej macierzywspó³czynników wyprowadzamy wzory bêd¹ce uogólnieniami zwi¹zków (2.78) oraz(2.79):Etap I(2.102)gdzieEtap II(2.103)Podobnie rozwi¹zujemy uk³ad równañ z niezerowymi macierzami naro¿nymi(2.104)uogólniaj¹c wzory (2.91) ¸ (2.94):Etap I(2.105)gdzieEtap II(2.106)Etap III(2.107) [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ]